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Qui s’y frotte, s’y pique souvent! Les différents types de raisonnement en Mathématiques ne sont pas franchement maîtrisés au lycée, et continueront à te faire galérer dans le supérieur… sauf si tu jettes un œil par ici 🙂

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Les différents types de raisonnement sont toujours rencontrés dans les exercices Mathématiques, et en particulier  c’est ce qu’on te fait travailler en détail dans les devoirs maisons.

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Sauf qu’en général tu ne sais pas comment raisonner, ou comment utiliser les raisonnements vus en classe, lorsque tu tombes ensuite sur des exercices similaires.

Et malheureusement quand tu cherches de l’aide pour apprendre à raisonner, on te dis souvent des choses du style « réfléchis un peu » (en général c’est nos parents ça 😉 ), parfois on te donne une petite piste, le problème c’est que tu sais pas comment l’utiliser, et certains te donnent même la solution (sur le moment c’est cool, mais en vérité tu passes à côté d’un acquis)…

Moi-même, quand le prof disait en cours « Eh oui, pour cette question il fallait utiliser la contraposée », waouh, j’étais encore plus perdue limite le prof c’était un martien, donc forcément on va jamais se comprendre… Et comme y’en avait toujours un dans la classe (ouiiiii, l’intello de la classe, of course) pour dire « ah oui c’est vrai !!! », alors que toi tu fais encore les gros yeux (t’as toujours pas saisi le truc)… c’est comment dire… frustrant ! (oui oui, on reste poli) 😀

Que Faire Pour Être à l’Aise Dans un Raisonnement ?

Pour être à l’aise dans un raisonnement, il faut d’abord chercher à développer ton intuition mathématique. Tu as ce qu’il faut ici « Avoir l’Intuition Mathématiques » pour le faire.

Ensuite, il faut :

  • Connaitre précisément les définitions
  • Connaitre précisément les hypothèses des théorèmes (et bien sûr leur conclusion)
  • Avoir une connaissance exacte des opérateurs (comme la racine carrée, la valeur absolue etc…)
  • Avoir une bonne connaissance du français (grammaire, analyse logique, culture générale)

En effet, une bonne connaissance des opérateurs te permettra de faire attention lors de la résolution d’équations, ou de pouvoir répondre correctement selon les contraintes de l’énoncé qu’on te donne.

Le français est très important, car c’est la base pour comprendre l’énoncé et la question posée. Car tu peux être un génie en calcul et connaître tous tes théorèmes par cœur, mais si tu ne comprends pas ce qu’on te demande, tu ne vas pas aller loin…

J’ai eu le cas aussi d’une élève qui ne savait pas qu’Eugène était un prénom masculin. Du coup elle a eu zéro, car il s’agissait de comparer les sommes gagnées par les filles et celles gagnées par les garçons…

En tout cas, une bonne solution pour améliorer sa compréhension des énoncés, c’est de lire des livres (ceux qui te plaisent), de prendre l’habitude de résumer la partie que tu viens de lire, et de chercher les mots inconnus dans le dictionnaire. Je le recommande souvent à mes élèves, car en plus ça permet aussi d’améliorer sa concentration.

Et c’est un conseil qu’il faut appliquer en urgence quand on ne maîtrise pas la langue française.

Quelle Est la Façon de Raisonner en Maths ?Parfum Miniatures De Collection Lalique Dans vN8nwm0

Raisonnement Mathématique: Définition

Les raisonnements en Mathématiques, c’est ce qu’on peut désigner comme étant les différentes méthodes pour résoudre les problèmes.

Leibniz le défini comme étant une « combinatoire qui met en jeu des opérations : conjonction, disjonction, négation, implication, incompatibilité, alternative ».

En tout cas, la façon de raisonner en Maths, on nous l’apprend petit à petit, dès la primaire, jusqu’à maintenant en Terminale, et ça continue dans le supérieur of course.

L’objectif est d’amener l’étudiant à construire une démonstration tout seul : c’est comme quand tu apprends à faire du vélo, une fois que tu as maîtrisé la marche et l’équilibre sur tes petites jambes dodues, tu passes par la draisienne et/ou le trois-roues. Une fois le trois-roues maîtrisé, tu apprends à rouler sur le deux-roues avec l’aide de quelqu’un, et enfin avec toute cette expérience tu sais alors vraiment rouler seul(e) à vélo…Eau Trésor Trésor Lancôme Lancôme Eau De Parfum 9IH2ED

La Démarche Apprise à l’Ecole

En Primaire, on avait les fameux problèmes: « notre vie a commencé avec des problèmes », comme disait Gad El Maleh… C’est à ce moment-là qu’on voit toute l’importance :

  • Du vocabulaire, des mots clés utilisés dans l’énoncé
  • De savoir faire le tri, entre info utile ou pas
  • De rédiger proprement et clairement
  • De maîtriser ce qui a été fait auparavant

Au Collège, on nous apprend à utiliser l’implication avec des raisonnements du type « si…alors… ».

En

Seconde, on commence à manipuler l’équivalence, le fameux « si et seulement si », et le contre-exemple.

Ensuite en Première, et surtout en S, on aborde la contraposition, l’absurde, et la disjonction de cas, même s’il a déjà été vu avant (comme avec le Théorème de Pythagore par exemple).

Et enfin en Terminale, on voit en plus le raisonnement par récurrence.

Comment Choisir le Bon Raisonnement?

Pour démontrer quelque chose, sache qu’il y a plusieurs raisonnements possibles, comme une multitude de chemins différents pour arriver au résultat, mais le meilleur est celui qui est le plus économe en temps. Et pour avoir l’intuition du meilleur raisonnement à utiliser, je vais me répéter, mais comme je l’ai dit dans cet article sur l’intuition, il faut vraiment faire des exercices, refaire des démonstrations, tenter d’en faire des nouvelles etc…

Voici donc les raisonnements qu’il te faudra savoir manipuler, avec un petit exemple pour t’illustrer la méthode à chaque fois. Parce que tu dois savoir qu’au lycée, ce qui est important c’est la méthode.

Pour des raisons pratiques, j’ai regroupé tous les exemples dans un document PDF que tu peux télécharger, en cliquant sur le bouton indiqué.

Les Raisonnements en Mathématiques

Raisonnement Par Analyse-Synthèse

C’est le raisonnement qui te permet de traiter les questions d’existence et d’unicité, comme par exemple quand on te demande de résoudre une équation). C’est aussi celui qu’on utilise quand on a à faire à des problèmes de construction.

L’analyse consiste à résoudre notre problème pour trouver la solution (comme quand on résout simplement une équation par exemple).

Puis la synthèse consiste à vérifier que la ou les solution(s) trouvée(s) respecte(nt) bien les conditions de l’énoncé, et réponde(nt) bien au problème posé.

Vous l’oubliez d’ailleurs souvent quand, par exemple, l’énoncé restreint l’intervalle de définition, et qu’une des solutions trouvées se trouve être en dehors de cet intervalle. Donc prudence !

Voir l’Exemple 1 :

Retiens bien ceci:

Analyse-Synthèse en Maths > Enoncé : Questions d’existence et d’unicité (ex : résolution d’équation), ou problèmes de construction. Démonstration : Par l’analyse-synthèse (on résout et on ne donne QUE les solutions adaptées à l’énoncé)

Raisonnement Par Disjonction Des Cas

C’est le type de raisonnement à utiliser en général, quand on te donne un énoncé du type:

« Pour tout x є E, montrer que P(x) est vraie »

Sachant que E est un ensemble qui est précisé (ça peut être IN, IR, un intervalle etc…), x un élément de E, et P(x) la proposition qui dépend de x et qu’on te demande de montrer.

Pour résoudre ce type d’énoncé, on utilise donc la disjonction, qui consiste en fait à travailler au cas par cas. C’est-à-dire que pour montrer que la proposition P(x) est vraie, il te suffira de montrer que cette proposition est vraie pour chaque partie de l’ensemble E.

Voir l’Exemple 2 :

Retiens-bien ceci:

Disjonction des Cas en Maths > Enoncé : Montrer que pour tout x є E , P(x) est vraie. Démonstration : Ml Déclaration Femme Edt100 Cartier Parfum dBCeorxWPar disjonction, c’est-à-dire travailler au cas par cas

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Raisonnement par Contraposition :

Cette façon de raisonner est très utile quand le raisonnement direct ne fonctionne pas, lorsqu’on a une question du type « Montrer que si P est vraie, alors Q est vraie » (P et Q étant des propositions).

Comment ça marche ? La méthode est basée sur le principe que le fait de démontrer que « Une proposition P implique une proposition Q » est équivalent au fait de démontrer sa contraposée, c’est-à-dire de démontrer que « Si on admet que Q n’est pas vraie, alors P n’est pas vraie ».

Donc quand on bloque pour effectuer une démonstration de façon directe, il est parfois plus judicieux et plus simple de chercher plutôt à faire la démonstration de la contraposée.

Voir l’Exemple 3 :

Clique Ici pour consulter les Exemples>> Exemple 3

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Retiens-bien ceci:

Contraposition en Maths > Enoncé : Montrer que « P implique Q ». Démonstration : On démontre la contraposée, c’est-à-dire que « non P implique non Q »

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Raisonnement Direct

C’est celui auquel on a à faire le plus souvent. Lorsqu’on nous demande de montrer que « une proposition P implique une proposition Q », ça consiste à partir de la proposition P (on considère qu’elle est vraie, on l’utilise comme hypothèse), puis, d’étapes en étapes, raisonner pour arriver à montrer que la proposition Q est vraie.

Voir l’Exemple 4 :

Retiens-bien ceci:

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Raisonnement Direct en Maths > Enoncé : Montrer que « P implique Q ». Démonstration : On part de l’hypothèse donnée (P est vraie), et on manipule les infos jusqu’à arriver à la conclusion que Q est vraie.

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Raisonnement par l’Absurde :

Il y a aussi des situations où c’est beaucoup plus rapide d’utiliser le raisonnement par l’absurde.

Disons qu’on te demande de montrer que « une proposition P implique une proposition Q ». Pour raisonner par l’absurde, il y a deux étapes à respecter :

  1. Tu supposes que la proposition P est vraie ET que la proposition Q est fausse, en le rédigeant sur ta copie
  2. Tu cherches une contradiction à ce que tu viens de rédiger

S’il est plus facile de répondre à ta question de cette façon, alors n’hésite pas. Et ainsi tu pourras directement conclure qu’on vient de démontrer par l’absurde  le fait que « P implique Q » soit vrai.

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Voir l’Exemple 5 :

Clique Ici pour consulter les Exemples>> Exemple 5
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Retiens-bien ceci:

L'Absurde en Maths > Enoncé : Montrer que « P implique Q ». Démonstration : Supposer que P est vraie ET que Q est fausse (à rédiger proprement). Puis y trouver une contradiction.

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Raisonnement par le Contre-Exemple :

Si on te donne un énoncé du type « Quel que soit x є E, on considère la proposition P(x) », et qu’on te pose une question du type :

  • Est-ce vrai ou faux?
  • ou Prouver que c’est faux

Dans ce cas-là, sache que le fait de trouver un seul exemple (c’est-à-dire une seule valeur x₀) qui respecte ces deux conditions :

  1. Il fait partie de l’ensemble de définition E (c’est-à-dire x₀ є E)
  2. Il montre que la proposition P(x₀) est fausse

est suffisant pour montrer que l’assertion complète, c’est-à-dire pour toute valeur de E, est fausse. C’est cet exemple, que tu auras trouvé, qui porte le nom de « contre-exemple ».

Voir l’Exemple 6 :

Retiens-bien ceci:

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Contre-Exemple en Maths > Enoncé : « Mq qque soit x є E, la proposition P(x) est fausse », ou « Pour tout x є E, on considère la P(x). Est-ce vrai ou faux ?». By Kenzo By Flower Edp50ml By By Flower Flower Edp50ml Kenzo Kenzo Edp50ml Kenzo Flower ordBxCeDém : Il suffit de trouver un élément x₀ є E tq P(x₀) soit fausse, pour mq l’assertion est fausse

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Démonstration par Récurrence :

C’est THE raisonnement auquel il faut automatiquement penser quand on travaille avec des entiers naturels (de l’ensemble IN). Ça peut être l’ensemble IN tout entier, ou une partie de IN, ou quelques entiers seulement : c’est toujours précisé dans l’énoncé.

Pour utiliser le principe de récurrence, il faut absolument respecter de façon stricte 3 étapes que l’on va voir ensemble. Attention, car s’il manque une étape, on ne pourra plus dire qu’on a fait une démonstration par récurrence.

Et cela veut aussi dire que si une étape est fausse, alors la proposition est fausse. Par exemple l’hérédité peut être vraie, mais l’initialisation fausse. Et dans ce cas-là, on conclut directement que la proposition n’est pas vraie. Je le précise, car parfois vous vous faites piéger: vous trouvez que l’initialisation est fausse, mais vous continuez quand même… D’ailleurs dans ce cas, vérifiez quand même que ce ne soit pas une erreur de calcul 😉 

Donc pour démontrer qu’une proposition dépendant d’un entier naturel n est vraie pour tout n ≥ n₀, voici les trois étapes à suivre :

  1. L’initialisation : à faire toujours, même si c’est évident.

Il s’agit de montrer que la proposition est vraie pour n = n₀. Donc on reprend la proposition de l’énoncé, on remplace n par n₀, et on montre qu’effectivement c’est vrai

  1. L’hérédité : Une fois l’initialisation terminée, il s’agit de montrer que si on suppose la proposition vraie pour un entier k, k ≥ n₀ (cette hypothèse est appelée « hypothèse de récurrence »), alors on va montrer qu’elle est vraie pour l’entier suivant « k+1 ».

Pour faire cela, rédige d’abord l’hypothèse de récurrence. Je t’explique juste après comment t’y prendre

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  1. La conclusion : Enfin, on n’oublie pas de conclure, pour finaliser ce principe de récurrence. C’est le plus simple, il faut simplement conclure que la proposition est bien vraie pour tout entier n, n ≥ n₀. C’est surtout de la rédaction…

Et comme promis, je reviens en détail sur la rédaction de l’hypothèse de récurrence :

  • Soit k un entier, k ≥ n₀. Supposons que P(k) est vraie (le rédiger en fonction de la proposition P(n) qu’on te donne)
  • Montrons que P(k+1) est vraie (tu le formules également en l’adaptant à la proposition de ton énoncé)

Puis tu t’attaques à sa démonstration

  • Une fois que c’est fait, tu n’oublies pas de clôturer cette 2ème étape par une petite conclusion du type « Ainsi P(k+1) est vraie »

Voir l’Exemple 7 :

Retiens-bien ceci:

Récurrence > Enoncé : Montrer que pour tout n є IN, n ≥ n₀, P(n) est vraie. Dém en 3 étapes ; Givenchy Vous Parfume En Et Select Déguise Parfums Algérie 3R54AjL
  • Initialisation (même si évidente) : mq P(n₀) est vraie. 
  • Hérédité : Supposons P(k) vraie, et mq P(k+1) est vraie, pour un entier naturel k qcq, k ≥ n₀. 
  • Conclusion

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Pourquoi Je N’Arrive Pas Toujours à Raisonner Aussi Bien Que le Prof ?Eau Trésor Trésor Lancôme Lancôme Eau De Parfum 9IH2ED

C’est tout simplement qu’il y a plusieurs façons de raisonner.

Le prof utilise la manière la plus économe en temps, et tu ne le sais pas car tu n’y a pas pensé. Mais il a aussi essayé sur son brouillon, il a cherché, il a même pu se tromper en cours de route, ou fait plus qu’il ne fallait faire…

Toutefois, il y a des moments où la question sous-entend le raisonnement à suivre. Pour les raisonnements par récurrence par exemple, ou quand on te demande de déduire quelque chose.

Encore Une Petite Chose à Partager Avec Toi…

Utilise les méthodes vues en classe. Par exemple pour montrer que A = B, A et B étant des ensembles, il faut d’abord montrer que A с B, puis montrer que B с A, et conclure qu’ainsi A = B. Cce sont les étapes à faire, donc une fois qu’on a écrit le chemin à suivre sur le brouillon, on cherche à montrer que chaque étape est vraie.

Aussi, tu dois apprendre de tes erreurs : lorsque tu commets des erreurs, que ce soit pour un exercice donné en devoir, ou une interro, chercher à comprendre ton erreur, et refais la question qui t’as posé problème. C’est très formateur, pour ne pas dire que c’est le meilleur enseignant que tu puisses avoir!

Dans cet autre article « Comment Mettre Ton Brouillon au Service de ta Réflexion », je t’explique pourquoi il est très utile d’avoir recours à un brouillon quand on réfléchit, et comment l’utiliser de façon efficace.

De façon générale, pour raisonner ou réussir une démonstration :

  • On part de l’hypothèse
  • Ensuite soit c’est du calcul, soit il faut utiliser une définition, soit il faut faire le rapprochement avec un théorème ou une propriété connue, selon ce qu’on vous donne
  • Par enchaînement logique (et parfois en cours de route il faudra à nouveau utiliser des propriétés connues, une définition, une simplification, une astuce de calcul etc…), on arrive à la conclusion
  • On rédige la conclusion

Une astuce supplémentaire que m’avait donné un de mes profs en Fac, c’est que ça peut parfois aider de partir du résultat cherché, et revenir en arrière, pour boucler (voire avoir une idée de la méthode à utiliser) une démonstration. Ça sera bien sûr à faire sur ton brouillon, à intégrer dans ta réflexion.

En Fac justement, nous faisions essentiellement des démonstrations. J’ai toujours utilisé cette façon de travailler mes démonstrations, et en Licence par exemple, j’ai toujours fait partie des majors de ma promo! Bref, si tu tiens à optimiser ta façon de travailler pour maintenant et pour ton avenir, régale-toi, et épate tout le monde!

Tout est maintenant clair pour toi ? Partage si tu as trouvé cela utile, et maintenant tu sais ce qu’il te reste à faire : entraîne-toi 😉 

OH LAAA LAAAAA !!!

Fais-tu partie de ceux qui n'ont pas encore reçu leur cadeau !?!

Va falloir remédier à ça tout de suite!! On me dit dans l'oreillette que la dérivation, c'est THE chapitre qu'on est sûr de retrouver dans tout examen de Maths... Je dis ça, je dis rien...

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